搜索理工男必看：麥克斯韋方程組的由來
2017-05-20 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
美國著名物理學(xué)家理查德·費曼(Richard Feynman)曾預(yù)言:“人類歷史從長遠看,好比說到一萬年以后看回來,19世紀最舉足輕重的毫無疑問就是麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了電動力學(xué)定律。”
這個預(yù)言或許對吧。可是費曼也知道,麥克斯韋可不是一下子就發(fā)現(xiàn)了所有有關(guān)電動力學(xué)的定律,所以如果一定要選出一個有代表性的時間,他很有可能會選1864年10月27日。那天麥克斯韋向皇家學(xué)會成員闡述了他的論文“電磁場的動力理論”。一年后麥克斯韋正式發(fā)表他這個激進的新理論。那時候整套理論還顯得很冗長,后來是他的追隨者把這個理論精煉到了四個如今著名的方程式。無論如何,把這些方程是稱為麥克斯韋方程組還是有道理的。所以我們今天要來慶祝它們150歲的生日。
1820年以前,科學(xué)家相信電和磁是截然不同的兩種現(xiàn)象。后來漢施·克里斯蒂安·奧斯特(Hans Christian Oersted)報告了一個引人注目的結(jié)果:當(dāng)他把磁化的指南針放到通電導(dǎo)線附近時,指南針移動到了和導(dǎo)線垂直的角度。各處的科學(xué)家都驚呆了,立即著手研究電和磁的關(guān)聯(lián)。其中就有麥克·法拉第(Michael Faraday)。
詹姆士·克勒克·麥克斯韋是十九世紀物理學(xué)界最有影響力的人物。
法拉第是個倫敦鐵匠的兒子,自學(xué)成材。29歲的時候,他在皇家研究所漢弗萊·戴維(Humphry Davy)手下工作。作為一個分析化學(xué)家,他豎立了機智靈敏又可靠的好口碑。只有其他事情一做完,他就開始實驗電流和磁。他并不懂?dāng)?shù)學(xué),所以至少表面看來,他比起那些同時代的接受過完好教育的人來有所欠缺。但反過來說,這種缺失卻成了他的優(yōu)勢,他比別人更能自由地思考。他問了很多別人都沒有考慮過的問題,設(shè)計了別人沒有想到過的實驗,看到了別人錯過的機會。
與他同時代的安德烈·瑪麗·安培(André Marie Ampère)以驚人的速度重復(fù)了奧斯特的實驗。沒幾個月就發(fā)展出了一整套數(shù)學(xué)理論。他說,任何一個電流環(huán)都會產(chǎn)生貫穿過這個環(huán)的磁力。安培的理論,就像此前的庫倫,是基于牛頓的萬有引力理論的。庫倫認為,在點電荷和磁極之間會即時產(chǎn)生直線狀的電力和磁力。這些力和距離的平方成反比。安培計算了把通電導(dǎo)線看作是無限小的電流分段串在一起,把每個無限小的電流分段當(dāng)作是一個點來處理,從而計算通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁力。要算通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁力,只要把所有電流分段的效應(yīng)在數(shù)學(xué)上簡單相加。
在法拉第看來,若要說奧斯特實驗中指南針是被一組直線引力以及它和導(dǎo)線之間排斥力驅(qū)動,那是不對的。他覺得,應(yīng)該是通電導(dǎo)線在它的周圍空間引起了一種環(huán)形的力。他涉及了一個聰明而簡單的實驗,驗證這個想法。法拉第將一條磁鐵豎直固定在一個小臉盆中央,并將水銀倒入臉盆中,直到只有磁鐵的頂端露出來。然后他把一根導(dǎo)線伸到水銀中。當(dāng)他通上電,導(dǎo)線和水銀就是電路的一部分了。與水銀接觸的導(dǎo)線的頂端圍繞磁鐵快速轉(zhuǎn)動。他制造了這個世界上第一個電動機。
安培已經(jīng)演示過如何從電產(chǎn)生磁——那么從磁里產(chǎn)生電當(dāng)然應(yīng)該有可能啦。然而十年來科學(xué)家屢試屢敗。然后到了1831年,法拉第發(fā)現(xiàn)了這個目標(biāo)難以企及的原因:要想在導(dǎo)線里產(chǎn)生電流,你必須改變導(dǎo)線周圍空間里的磁場態(tài)。你只要在電路周圍移動一個磁鐵(或者反過來),那么電路就有電流了。然而空間的磁場態(tài)確切來說到底是什么呢?法拉第想起了白紙上磁鐵周圍鐵屑的分布,他確信磁鐵不只是一塊帶著有趣特性的鐵,它是整個磁力曲線在空間分布的中心,磁力線實際存在。而且,這種現(xiàn)象不僅鐵磁有:在導(dǎo)電電路的周圍也有相似的磁力線。
法拉第得出進一步結(jié)論。通過測試,他總結(jié)說每個帶電物體都是電力線的源頭,在空間里也會彎曲。和連續(xù)成環(huán)狀的磁力線不同(它們不終止于磁鐵,而是穿過磁鐵),電力線總是從一處的正電荷物體到另一處的負電荷物體。所以每個正電荷都和別處一個負電荷有一個平衡。他同時觀察到,無論是磁效應(yīng)還是電效應(yīng),都不是即時的,都要一段時間來產(chǎn)生作用。照他的理解,這是系統(tǒng)要建立起這些電力、磁力線所需要花費的時間。
英國科學(xué)家麥克·法拉第(畫像)對麥克斯韋發(fā)展電磁統(tǒng)一理論有幫助。
法拉第和其他科學(xué)家的思維方式很不一樣。通常科學(xué)家仍然認為電力和磁力是由一段距離內(nèi)的實質(zhì)物體相互作用,而空間的作用是消極的。皇家天文學(xué)家喬治比德爾艾利(George Biddell Airy)爵士評價法拉第的電力磁力線是“模糊和變化的”,他代表了當(dāng)時很多人的意見。這也好理解。他們通常的遠距作用理論有一個明確的公式,而法拉第的理論卻沒有提供任何公式。雖然他們尊敬法拉第,認為他是一位超凡的實驗家,但大多數(shù)科學(xué)家覺得他不懂?dāng)?shù)學(xué),因而缺乏理論基礎(chǔ)。
法拉第了解他們的這些意見,所以在發(fā)表電力磁力線理論的時候格外謹慎。只有一次他做了一次冒險。那是在1846年, 他的一個同事查爾斯·威特斯通(Charles Wheatstone)要在皇家學(xué)院演講他的發(fā)明,但臨陣怯場。于是,法拉第決定自己來做個演講。他在給定時間結(jié)束前開始講預(yù)告之外的內(nèi)容。他卸下心理防備,把自己最私密的想法說了出來。他向聽眾們講述了有著驚人預(yù)見的關(guān)于光的電磁理論。他推測,全部空間都充滿著電力線和磁力線。這些線橫向振動,當(dāng)受到干擾時,就會沿著線的方向以很快但有限的速度發(fā)射能量波。他說,光很可能就是光線振動的一種體現(xiàn)。
現(xiàn)在我們知道,他已經(jīng)很接近真相了。但在法拉第的那些科學(xué)家同事看來,光線振動就像奇幻傳說一樣荒唐。以至于法拉第的支持者都感到尷尬,法拉第本人也后悔松懈了思想防備。他把他同時代的人遠遠地甩在了后頭,一直等到四十年以后才有人能揭示法拉第真正的偉大。這個人有著同樣思想高度,和法拉第能力上的有著互補。這個人就是詹姆士·克勒克·麥克斯韋(James Clerk Maxwell)。
麥克斯韋職業(yè)生涯驚人而又短暫(他死時48歲)。他在他從事的每個物理分領(lǐng)域都做出了根本性的發(fā)現(xiàn)。但他最偉大的工作是關(guān)于電場和磁場,這點像法拉第。麥克斯韋出生于一個高貴的蘇格蘭家庭,他進了愛丁堡最好的中學(xué),然后去了愛丁堡大學(xué)和劍橋大學(xué)。他在劍橋大學(xué)得到了數(shù)學(xué)榮譽學(xué)位考試的第二名,獲得了學(xué)士學(xué)位。這之后,他就開始閱讀有關(guān)法拉第的電學(xué)實驗。麥克斯韋一下子被法拉第的坦誠吸引了:這個偉人公開他的成功以及失敗,表達他成熟以及粗略的想法。再讀下去,麥克斯韋看到這項工作真正的力量:在尋找探究明白前,思想就有偉大飛躍。在麥克斯韋看來,線這個概念在空間上是有道理的,雖然法拉第表達起來都是用文字的,但本質(zhì)上這是可以用數(shù)學(xué)表述的。他開始用數(shù)學(xué)的力量承載起法拉第的想法。九年里,他跨越了三次令人驚嘆的階段,成功了。
麥克斯韋非常善于發(fā)現(xiàn)自然界不同領(lǐng)域的相似性。1856年,他開始用虛擬的不可壓縮的勻速流體來類比電力線和磁力線:在空間區(qū)域的流體速度和方向代表了力線的密度和方向。如此,他就證明了靜態(tài)電力和磁力可以從傳統(tǒng)的距離之間的作用理論推導(dǎo)出來。這是個了不起的成就。但當(dāng)時,麥克斯韋不知道如何處理變化的力線。依照他慣有的方式,他去干別的工作了,但這些想法一致在他腦中醞釀。
六年后,他有了一個新模型。他想象空間里充滿著小球,這些小球可以旋轉(zhuǎn),它們被更小的粒子在空間上間隔開。那些小粒子就像是鋼珠軸承。麥克斯韋假設(shè)這些小球質(zhì)量很小但有限,并有一定的彈性。如此一來,就可以把電力線和磁力線和機械系統(tǒng)作類比。因而任何一個小球的變化都會引起了其他小球的變化。這個杰出的模型導(dǎo)出了所有著名的電磁方程,它預(yù)言電磁波的傳播速度只由電磁基本性質(zhì)決定。這個速度和實驗測到的光速只相差1.5%。這是個驚人的結(jié)果,但科學(xué)家卻都沒對此表態(tài)。他們相信,任何物理分領(lǐng)域,都是以認清自然真實規(guī)律為目標(biāo)的。他們覺得麥克斯韋的模型并沒有原創(chuàng)性,用這個模型嘗試對電磁和光作解釋是有缺陷的。所有人都預(yù)計麥克斯韋下一步就是要完善這個模型。但他沒有,他把模型放到一邊,只運用動力原理,從頭開始搭建這個理論。
兩年后,研究成果被發(fā)表在“電磁場的動力理論”這篇論文中。在這個模型里,無處不在的媒介取代了此前模型中的旋轉(zhuǎn)粒子。媒介具有慣性和彈性,但他對其機械特性沒有詳述。就像變戲法,他運用了約瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)的方法,把動力系統(tǒng)看成一個“黑箱”:只要描述了這個系統(tǒng)的一些通常特征,就可以在不知道具體機理的情況下,通過輸入推導(dǎo)出輸出。如此,他就有了電磁場方程組,一共有20個方程。1864年10月,他在皇家學(xué)會講述他的這篇論文,聽眾們簡直不知道該拿它如何是好。一個理論建立在奇怪的模型上已經(jīng)夠糟糕了,而一個理論不以任何模型為基礎(chǔ),那就根本無法讓人理解。
直到1879年麥克斯韋過世,又過了數(shù)年,他的理論都沒有人能夠真正理解,就好似在玻璃箱中的展示,廣受仰慕卻無人能夠接近。后來是自學(xué)成才做過電報員的奧利弗·亥維賽(Oliver Heaviside )讓這套理論變得可以親近。1885年,他把這套理論總結(jié)為我們現(xiàn)在所知的四個麥克斯韋方程:
這里 E 和 H 分別是空間任意點電場力和磁場力的矢量, ε 和 μ 分別電和磁的基本常量,ρ 是電荷密度, J 是電流密度矢量。頭兩個方程簡潔表述了電和磁的平方反比定律。第三、四個方程定義了電和磁之間的關(guān)系,說明電磁波存在并以1/√(με) 的速度傳播。
亥維賽運用矢量分析大大簡化了方程的表達。三維矢量用一個字母表示,把電勢和磁矢勢都推到幕后。1888年,海因里希·赫茲(Heinrich Hertz)發(fā)現(xiàn)電磁波極大地推動了人們對電磁理論的興趣。人們求助于亥維賽的精煉版本,而非麥克斯韋最初的表述。
要把故事講完整,還要加上三點內(nèi)容。第一,麥克斯維其實很容易就可以把理論簡化壓縮,但是他覺得最好還是保持一定的開放性。許多年后,他的智慧顯現(xiàn)了:理查德·費曼和其他人發(fā)展量子電動力學(xué),就是利用了被亥維賽剔除的原始狀態(tài)下的勢能量。第二點,是麥克斯韋命名了運算符號,比如散度和旋度。第三,麥克斯韋事實上在他的《關(guān)于電和磁的論文》一文中已經(jīng)用了矢量,只不過他把矢量表達看作是一種額外的選擇。他的矢量是從威廉·羅萬·哈密頓(William Rowan Hamilton)復(fù)雜的四元數(shù)推導(dǎo)而來。大多數(shù)人都不想用這么復(fù)雜的矢量系統(tǒng),直到亥維賽推出簡便許多的系統(tǒng)他們才開始接受。
最后想想這點:雖然麥克斯韋從來沒有刻意去追求,但他的方程組揭示了光速是1/√(με),和觀察者、光源的相對速度都沒有關(guān)系。這引導(dǎo)出了愛因斯坦的狹義相對論,E = mc2。 所以說,或許這個世界上最著名的公式就應(yīng)該是 E = m/με。這樣才能體現(xiàn)愛因斯坦和麥克斯韋共同的貢獻。
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