有限差分法、有限元法、有限體積法

2017-01-16 by:CAE仿真在線來源:互聯網

1 有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早采用的方法,至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格,用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法,把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散,從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法,數學概念直觀,表達簡單,是發展較早且比較成熟的數值方法。對于有限差分格式,從格式的精度來劃分,有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮,可分為中心格式和逆風格式?？紤]時間因子的影響,差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式,主要是上述幾種形式的組合,不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網格,網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。

構造差分的方法有多種形式,目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式:一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等,其中前兩種格式為一階計算精度,后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合,可以組合成不同的差分計算格式。

2 有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法,其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元,在每個單元內,選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點,將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式,借助于變分原理或加權余量法,將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式,便構成不同的有限元方法。
在有限元方法中,把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元,在每個單元內選擇基函數,用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解,整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的,則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。

根據所采用的權函數和插值函數的不同,有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法,從計算單元網格的形狀來劃分,有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格,從插值函數的精度來劃分,又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。

對于權函數,伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數;最小二乘法是令權函數等于余量本身,而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小;在配置法中,先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程,即在配置點上令方程余量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成,但也有采用三角函數或指數函數組成的乘積表示,但最常用的多項式插值函數。有限元插值函數分為兩大類,一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值,稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值;另一種不僅要求插值多項式本身,還要求它的導數值在插值點取已知值,稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標,有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系,它的定義取決于單元的幾何形狀,一維看作長度比,二維看作面積比,三維看作體積比。在二維有限元中,三角形單元應用的最早,近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元,常采用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。

對于有限元方法,其基本思路和解題步驟可歸納為(1)建立積分方程,根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理,建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式,這是有限元法的出發點。 (2)區域單元剖分,根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點,將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作,這部分工作量比較大,除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外,還要表示節點的位置坐標,同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。(3)確定單元基函數,根據單元中節點數目及對近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的,由于各單元具有規則的幾何形狀,在選取基函數時可遵循一定的法則。(4)單元分析:將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近;再將近似函數代入積分方程,并對單元區域進行積分,可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組,稱為單元有限元方程。(5)總體合成:在得出單元有限元方程之后,將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加,形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件,一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件,需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。(7)解有限元方程:根據邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉方程組,采用適當的數值計算方法求解,可求得各節點的函數值

3 有限體積法(Finite Volume Method)又稱為控制體積法。其基本思路是:將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積,并使每個網格點周圍有一個控制體積;將待解的微分方程對每一個控制體積積分,便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分,必須假定值在網格點之間的變化規律,即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來,有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法;從未知解的近似方法看來,有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之,子區域法屬于有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解,并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義,就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理,如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程,要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足,對整個計算區域,自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法,例如有限差分法,僅當網格極其細密時,離散方程才滿足積分守恒;而有限體積法即使在粗網格情況下,也顯示出準確的積分守恒。就離散方法而言,有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律(既插值函數),并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值 ,這與有限差分法相類似;但有限體積法在尋求控制體積的積分時,必須假定值在網格點之間的分布,這又與有限單元法相類似。在有限體積法中,插值函數只用于計算控制體積的積分,得出離散方程之后,便可忘掉插值函數;如果需要的話,可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數。

4 多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量.具有收斂速度快,精度高等優點.多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類,一類是頻率變化較緩慢的低頻分量;另一類是頻率高,擺動快的高頻分量。一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減,但對那些低頻分量,迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的,與網格尺度有關,在細網格上被視為低頻的分量,在粗網格上可能為高頻分量。多重網格方法作為一種快速計算方法,迭代求解由偏微分方程組離散以后組成的代數方程組,其基本原理在于一定的網格最容易消除波長與網格步長相對應的誤差分量。該方法采用不同尺度的網格,不同疏密的網格消除不同波長的誤差分量,首先在細網格上采用迭代法,當收斂速度變緩慢時暗示誤差已經光滑,則轉移到較粗的網格上消除與該層網格上相對應的較易消除的那些誤差分量,這樣逐層進行下去直到消除各種誤差分量,再逐層返回到細網格上。目前兩層網格方法從理論上已證明是收斂的,并且其收斂速度與網格尺度無關。多重網格法是迭代法與粗網格修正的組合,經過證明迭代法可迅速地將那些高頻分量去掉,粗網格修正則可以幫助消除那些光滑了的低頻分量,而對那些高頻分量基本不起作用。科研中國SciEi.com在多重網格計算中,需要一些媒介把細網格上的信息傳遞到粗網格上去,同時還需要一些媒介把粗網格上的信息傳遞到細網格上去。限制算子Iih(i-1)h是把細網格i-1層上的殘余限制到粗網格i層上的算子,最簡單的算子是平凡單射,另外還有特殊加權限制;插值算子Iih(i-1)h是把粗網格i層上的結果插值到細網格i-1層上的算子,一般采用線性插值或完全加權限制算子。

5 近似求解的誤差估計辦法共有三大類:單元余量法,通量投射法及外推法.單元余量法廣泛地用于以FEM離散的誤差估計之中,它主要是估計精確算子的余量,而不是整套控制方程的全局誤差.這樣就必須假定周圍的單元誤差并不相互耦合,誤差計算采用逐節點算法進行.單元余量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法.基于此,該方法能夠有效處理局部的殘余量,并能成功地用于網格優化程序.通量投射法的基本原理來自一個很簡單的事實:精確求解偏微分方程不可能有不連續的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續,這樣產生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統的光滑求解與不光滑求解之差.該方法與單元余量法一樣,對節點誤差采用能量范數,故也能成功地用于網格優化程序.單元余量法及通量投射法都局限于局部的誤差計算(采用能量范數),誤差方程的全局特性沒有考慮.另外計算的可行性(指誤差估計方程的計算時間應小于近似求解計算時間)不能在這兩種方法中體現,因為獲得的誤差方程數量,階數與流場控制方程相同.外推法是指采用后向數值誤差估計思想由精確解推出近似解的誤差值.各類文獻中較多地采用Richardson外推方法來估計截斷誤差.無論是低階還是高階格式,隨著網格的加密數值計算結果都會趨近于準確解.但由于計算機內存與計算時間的限制,實際上不能采用這種網格無限加密的辦法.由Richardson所發展起來的外推方法,可以利用在不同疏密網格上得出的結果估計相應的收斂解,可以估計所用離散方法截斷誤差的階數,可以估計所得數值計算的截斷誤差.該方法有很大的局限性,不能簡單地用于復雜湍流流動;并且在數值計算中數值解必須單調地趨近于其收斂值.而文獻提出的單網格后向誤差估計思想,在采用有限元法FEM,有限容積法FVM時均有應用,并且還用于網格優化程序,但該方法也不能用于復雜湍流流動的數值分析.

6 近年來發展的多尺度計算方法包括均勻化方法[9-11]、非均勻化多尺度方法[12-15]、以及小波數值均勻化方法[16]、多尺度有限體積法[17]、多尺度有限元法[1]等。

均勻化方法是一種多尺度分析的方法。該方法通過對單胞問題的求解,把細觀尺度的信息映射到宏觀尺度上,從而推導出宏觀尺度上的均勻化等式,即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學和工程應用中取得了巨大成功,但這種方法建立在系數細觀結構周期性假設的基礎上,因此應用范圍受到了很大限制。
鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法,是構造多尺度計算方法的一般框架。該方法有兩個重要的組成部分:基于宏觀變量的整體宏觀格式和由微觀模型來估計缺少的宏觀數據,多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

小波數值均勻化方法是由Dorbonuat、Enguqist提出的求解橢圓型方程的新型方法。該方法基于多分辨分析,在細尺度上建立原方程的離散算子,然后對離散算子進行小波變換,得到了大尺度上的數值均勻化算子。此方法在大尺度上解方程,大大地減小了計算時間。

多尺度有限元方法是由Babuska[1]等提出的。該法在宏觀尺度上進行網格剖分,然后通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振蕩的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里,使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。