搜索應力客觀率是什么？
2017-03-15 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網
因為一直在研究非線性、大變形的固體力學,我來試著回答一下。簡單的來講,objective rate是對應力變化率的一個測定,它在剛體旋轉的情況下為0,這就是所謂的“客觀”。下面深入介紹一下。
要了解什么叫做objective rate不如先來了解什么樣的rate不objective。我主要參考了Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures,作者 Ted Belytschko等。加上了一點自己的理解。
首先我假定你知道最常見的Cauchy stress tensor,
一個固體微元速度為
, 并且將其分解為一個對稱張量
和一個反對稱張量
,
也被成為rate-of-deformation,
也被成為spin tensor。并且
現在有一個hypoelastic材料,其應力應變關系由如下本構方程描述:
or
(1)
那么這個本構方程是一個有效的方程嗎?答案是否定的。為什么呢?看下圖。;
假設一根桿在初始狀態(tài)下應力為
。然后將其轉動90°。由于是剛體轉動,沒有變形產生,所以
。
在剛體轉動中,固體的初始應力狀態(tài)是“凍結”住的,也就是說對于一個騎在這根桿上的觀察者來說應力是不變的。(這句話有嚴格證明,不過因為直觀上很好理解,我略去證明過程)那么對于地面上的觀察者來說,Cauchy stress顯然變了,也就是說
.
回頭看(1)中的本構方程,左邊不為0,右邊卻為0,顯然它作為一個描述材料應力應變關系的方程來講是失敗了。在實際情況中,大尺度的轉動很常見,要想處理好這些情況,我們就不得不另找一個stress rate來代替
下面介紹三種objective rate,其中就包括題主問的Green-Naghdi rate。
-
Jaumann rate
還是考慮一樣的問題,我們在(1)式右邊加上兩項,這兩項專門用來對付剛體旋轉:
(2)
其中
(2)是一個有效的本構方程。我們改寫一下使其更簡潔:
(3)
其中
(4)
這 就是著名的Jaumann rate.
-
Green-Naghdi rate
Green-Naghdi rate與Jaumann rate的區(qū)別僅在于對剛體旋轉的描述上。下面是它的定義:
(5)
這里
是剛體旋轉的角速度,定義很簡單,
(6)
其中
Green-Naghdi rate一樣可以解決開頭提出的問題,也常被用在本構方程中。
-
Truesdell rate
也是一個常用的objective rate,定義是
(7)
其中
是上文介紹的velocity gradient tensor。
在小變形的情形下,用不到這些。但如果你要考慮大尺度變形、旋轉什么的,這些objective rate就要派上用場了。但hyperelastic material又是例外,因為它在變形過程中保持strain energy potential恒定這個特點為我們提供一個天然的objective的框架。
希望我把問題說明白了。想深入學習請參考我開頭提到的書。
作者:Leny
鏈接:https://www.zhihu.com/question/33043331/answer/57293954
來源:知乎
版權歸原作者所有
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