什么是有限元分析?

2013-08-14 by:有限元分析項目來源:有限元分析

有限元分析(FEA,Finite Element Analysis)的基本概念是將較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對每一單元假定一個合適的(較簡單的)近似解,然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件),從而得到問題的解。這個解不是準確解,而是近似解,因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數實際問題難以得到準確解,而有限元不僅計算精度高,而且能適應各種復雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能夠表示實際連續域的離散單元。有限元的概念早在幾個世紀前就已產生并得到了應用,例如用多邊形(有限個直線單元)逼近圓來求得圓的周長,但作為一種方法而被提出,則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法,應用于航空器的結構強度計算,并由于其方便性、實用性和有效性而引起從事力學研究的科學家的濃厚興趣。經過短短數十年的努力,隨著計算機技術的快速發展和普及,有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴展到幾乎所有的科學技術領域,成為一種豐富多彩、應用廣泛并且實用高效的數值分析方法。

有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地將其描繪為:“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數”,即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿足整個定義域邊界條件的允許函數的Rayleigh Ritz法,有限元法將函數定義在簡單幾何形狀(如二維問題中的三角形或任意四邊形)的單元域上(分片函數),且不考慮整個定義域的復雜邊界條件,這是有限元法優于其他近似方法的原因之一。

對于不同物理性質和數學模型的問題,有限元求解法的基本步驟是相同的,只是具體公式推導和運算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為:

第一步:問題及求解域定義:根據實際問題近似確定求解域的物理性質和幾何區域。

第二步:求解域離散化:將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域,習慣上稱為有限元網絡劃分。顯然單元越小(網絡越細)則離散域的近似程度越好,計算結果也越精確,但計算量及誤差都將增大,因此求解域的離散化是有限元法的核心技術之一。

第三步:確定狀態變量及控制方法:一個具體的物理問題通常可以用一組包含問題狀態變量邊界條件的微分方程式表示,為適合有限元求解,通常將微分方程化為等價的泛函形式。

第四步:單元推導:對單元構造一個適合的近似解,即推導有限單元的列式,其中包括選擇合理的單元坐標系,建立單元試函數,以某種方法給出單元各狀態變量的離散關系,從而形成單元矩陣(結構力學中稱剛度陣或柔度陣)。
為保證問題求解的收斂性,單元推導有許多原則要遵循。對工程應用而言,重要的是應注意每一種單元的解題性能與約束。例如,單元形狀應以規則為好,畸形時不僅精度低,而且有缺秩的危險,將導致無法求解。

第五步:總裝求解:將單元總裝形成離散域的總矩陣方程(聯合方程組),反映對近似求解域的離散域的要求,即單元函數的連續性要滿足一定的連續條件。總裝是在相鄰單元結點進行,狀態變量及其導數(可能的話)連續性建立在結點處。

第六步:聯立方程組求解和結果解釋:有限元法最終導致聯立方程組。聯立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機法。求解結果是單元結點處狀態變量的近似值。對于計算結果的質量,將通過與設計準則提供的允許值比較來評價并確定是否需要重復計算。

簡言之,有限元分析可分成三個階段:前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型,完成單元網格劃分;后處理則是采集處理分析結果,使用戶能簡便提取信息,了解計算結果。

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