從哲學的角度講,結構及其相互作用的矛盾構成了世界發展的根本原因。從物理學的角度來說,結構和相互作用被譯為物質和場。所以,場就是物質之間的相互作用。物理學上所談的場包括引力場、電磁場、核場和弱場。場的相互作用是通過交換量子而實現的,現在所發現的量子有:光子和8種核場量子。工程應用所談的場的與上述概念略有不同,它主要從實用而非量子角度來談場,如結構場、流場、聲場、濃度場、溫度場、靜電場、穩恒磁場和電磁場等。

要研究場,必須首先建立其數學模型。雖然對各個場的研究劃歸到不同的學科,但是所有學科基本上采取了相似的建模方法:微元分析法。該法從研究對象中選取一個微元(通常是無限小的立方體)為對象,列出微元6個面上和體內的物理量,根據能量守恒定律、質量守恒定律、動量定理等學科內的特定規律列方程,得到一個或一個以上的偏微分方程。由于時間和空間是場的存在形式,因此該方程一般是以時間和空間為自變量,以所研究場變量為因變量的偏微分方程。一般而言,在固體力學領域,得到的是平衡方程(或動力方程)、物理方程和幾何方程;在流體力學領域,是質量守恒方程、動量方程和能量方程;在傳熱學領域,是導熱方程;在電磁場領域,是麥克斯韋方程組。

對于這類問題主要存在四種解法:解析法、半解析法、數值法和實驗法。解析法十分精確可靠,但是只能求解比較簡單的問題;數值法充分利用計算機的特點,對一個問題從空間和時間上進行離散,理論上可以求解任意復雜的問題,但是計算量很大;半解析法一般對控制方程進行近似,再采用數值分析方法得到控制方程中的待定系數,比數值法求解速度更快,不過只針對某些簡單的問題有效;試驗法主要用于對象復雜的灰箱或黑箱系統,是理論分析和數值計算的基礎,但是花費昂貴,周期長而且受到模型尺寸、測量精度等的制約。對于邊界條件或形體復雜的實際工程領域,用得比較多是數值法。

數值法又分為兩類:有網格法和無網格法。根據網格劃分的方式,有網格法又進一步分為加權余量法、有限元法、邊界元法、有限差分法和有限體積法。基于網格的方法其數學原理各不相同,但是求解過程都分為兩個階段:離散化階段和代數方程組的求解階段。在離散化階段,用網格線將連續的定解域化分為有限個結點集,選取適當的途徑將微分方程及其定解條件轉化為網格結點上相應的代數方程組,即建立代數方程組。然后使用計算機求解代數方程組,得到結點上的離散近似解。結點之間的近似解,一般認為光滑變化,原則上可以應用插值方法確定,從而得到定解問題在整個定解區域上的近似解。

有限差分法是最早采用的數值方法。它將求解區域分為矩形或正交曲線網格,在網格線交點(即結點上),將控制方程中的每一個微商用差商來代替,從而將連續函數的微分方程離散為網格結點上定義的差分方程,每個方程中包含了本結點及其附近一些結點上的待求函數值,通過求解這些代數方程就可獲得所需的數值解。

有限元法是目前發展最為成熟的一種數值方法。該方法將求解域剖分成相連結又互不重疊的具有一定規則幾何形狀的有限個子區域,這些子區域稱為單元,單元之間以結點相聯結。函數值被定義在結點上,在單元中選擇插值函數,以結點函數值與基函數的乘積的線性組合成單元的近似解來逼近單元中的真解。利用某種方法建立單元方程,然后組裝成為總體的有限元方程,接著考慮邊界條件進行求解。

邊界元法是在經典積分方程和有限元法基礎上發展起來的求解微分方程的數值方法。其基本思想是:將微分方程相應的基本解作為權函數,應用加權余量法并應用格林函數導數聯系解域中待求函數值與邊界上的函數值與法向導數值之間關系的積分方程,令積分方程在邊界上成立獲得邊界積分方程,然后把邊界離散化,建立邊界元代數方程組,求解后可獲得邊界上全部結點的函數值和法向導數值,將全部邊界值代入積分方程中,即可獲得內點函數值。

有限體積法又稱為控制體積法,其基本思路是:將計算區域化分為網格,并使每個網格點周圍有一個互不重疊的控制體積,將待解微分方程對每一個控制體積積分,從而得出一組離散方程。然后求解此離散方程,得到網格點上的因變量的值。

隨著計算機技術的發展和計算機的普及,上述基于網格的方法在過去幾十年內得到了長足的發展,但是這些基于網格的方法時在使用時也遇到了一些問題,如結構大變形問題,對結構破壞過程的仿真,對新材料性能的分析和模擬,應力高梯度和瞬態動力問題等。而且,基于網格的方法如果在計算過程中出現網格畸變,則導致計算失效。為了處理大變形或隨時間變化的不連續性,需要重新進行網格重構。為了解決這種問題,出現了無網格數值計算方法(Meshless Method),該方法拋棄了網格,直接基于結點形成近似,在特定領域內具有重要的研究價值和應用前景。

目前已經提出十余種無網格方法,各種無網格方法之間的區別主要在于所使用的試函數(如移動最小二乘近似,重構核函數近似,單位分解法,徑向基函數法,點插值法等)和微分方程的等效形式(如迦遼金法,配點法,最小二乘法等)。建立近似函數時不借助于網格,基于函數逼近近似而非插值是無網格法有限元法的主要區別。采用定義在離散結點上具有緊支特性的函數來構造近似函數,而不用定義在全域上的級數展開形式是無網格法與經典加權殘量法的主要區別。

轉自公眾號:宋博士 ANSYS學習與應用