搜索有限元隱式與顯式動(dòng)力學(xué)
2017-06-04 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
參考資料:
[1] http://www.360doc.com/content/10/1011/23/2379373_60242505.shtml
[2] http://blog.sina.com.cn/s/blog_3f2ab0a5010006nm.html
[3] http://wenku.baidu.com/view/e1dad3b8fd0a79563c1e7219.html?re=view
[4] http://wenku.baidu.com/view/bb238e5a2b160b4e767fcf96.html
[5] http://blog.sciencenet.cn/blog-456941-550582.html
[6] http://wenku.baidu.com/view/a345cbacdd3383c4bb4cd22c.html
[7] http://wenku.baidu.com/view/00b3694ce518964bcf847c57.html?re=view
1.動(dòng)力學(xué)問題
在討論隱式與顯式動(dòng)力學(xué)之前,先討論一下動(dòng)力學(xué)問題和靜力學(xué)問題。在求解靜力學(xué)問題時(shí)沒有時(shí)間的概念,即使在載荷步控制力有Time這個(gè)選項(xiàng),但是這個(gè)Time的含義更多的是載荷步。Time前后的求解過程相互沒有影響。
動(dòng)力學(xué)問題的特點(diǎn)是施加到結(jié)構(gòu)上的外載荷的大小和方向可能隨著時(shí)間的變化而發(fā)生變化,使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生速度和加速度。在用有限元求解靜力學(xué)問題時(shí)主要是求矩陣方程組的問題,如下所示,只需要考慮結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。
當(dāng)考慮動(dòng)力響應(yīng)之后,除了考慮剛度矩陣還需要考慮質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣,分別計(jì)入速度和加速度的影響,也即阻尼力和慣性力的作用,因而求解動(dòng)力學(xué)問題的方程可表示為:
[M]表示質(zhì)量矩陣,[C]表示阻尼矩陣。上式是動(dòng)力學(xué)的基本方程,屬于二階常微分方程。在靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)問題中,剛度矩陣是一樣的。
2.質(zhì)量矩陣與阻尼矩陣
我們知道靜力學(xué)問題的總剛度是由單元?jiǎng)偠燃傻玫降?同樣的,總的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣也是由單元的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣集成而來,并且集成方式一樣,如下所示,[m]和[c]分別是單元的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。
在動(dòng)態(tài)分析中建立單元特性矩陣仍然采用虛位移原理。
簡單推導(dǎo)如下:
在動(dòng)載荷作用下,對(duì)于任一瞬時(shí),單元內(nèi)產(chǎn)生的虛應(yīng)變能為:
單元除受動(dòng)載荷外,還有加速度和速度引起的慣性力和阻尼力的作用,外力所做的虛功為:
其中ρ為材料密度,v是線性阻尼系數(shù),式中,{Pv}、{Ps}、{Pc}分別為作用于單元上的動(dòng)態(tài)體力、動(dòng)態(tài)面力和動(dòng)態(tài)集中力;V為單元面積;A為單元面積。
式中:
分別為單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。
這里加個(gè)注釋:單元內(nèi)的任意一點(diǎn)的位移jpthntzp是通過節(jié)點(diǎn)位移插值得到的。
3.動(dòng)力學(xué)問題的求解
隱私求解和顯式求解這兩個(gè)概念相信大家都聽的很多,ANSYS的顯示動(dòng)力學(xué)LS-DYNA和Abaqus Explict 均是采用顯式動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)力問題。
所謂顯式和隱式,是指求解方法的不同,即數(shù)學(xué)上的出發(fā)點(diǎn)不一樣。并不是說顯式只能求動(dòng)力學(xué)問題,隱式只能求靜力學(xué)問題,只是求解策略不通。隱式求解和時(shí)間無關(guān),采用的是牛頓迭代法(線性問題就直接求解線性代數(shù)方程組),因此存在一個(gè)迭代收斂問題,不收斂就的不到結(jié)果。由于兩者解題的出發(fā)點(diǎn),所以一般來說顯式用于求解和時(shí)間相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題。隱式用來求解和時(shí)間無關(guān)的靜力學(xué)問題。
顯式求解方法在ANSYS顯式動(dòng)力學(xué)采用的是中心差分法,這個(gè)方法在求解溫度場(chǎng)時(shí)用的較多。基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替,這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn);把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似;把原方程和定解條件中的微商用差商來近似,積分用積分和來近似,于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組,即有限差分方程組,解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。
對(duì)于中心差分法,如果知道最初的兩個(gè)位移,即可一步一步求出之后的位移速度和加速度,從而得到系統(tǒng)的位移速度和加速度時(shí)程曲線。
求解動(dòng)力學(xué)問題的另一種方法是Newmark法,采用這種方法求解屬于隱式求解。
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