齒輪是最常用的零部件之一,起到了傳遞扭矩的作用。為了研究齒輪固有頻率和振型的影響因素,改善齒輪的動態特性,齒輪通過與其它齒狀機械零件(如另一齒輪、齒條、蝸桿)傳動,可實現改變轉速與扭矩、改變運動方向和改變運動形式等功能。

本文運用SolidWorks 三維建模軟件建立齒輪建模,并運用ABAQUS和振動分析理論對模型進行模態分析,用Lanczos算法提取固有頻率,得到齒輪的模態和振型,為優化齒輪的結構設計提供支持。

本文以ABAQUS有限元分析軟件為平臺, 對齒輪進行模態分析, 提取了前6階固有頻率與振型, 通過不同材料和腹板倒角的齒輪選擇,對固有頻率與振型變化趨勢的分析, 為齒輪的結構設計和優化及提供了設計依據, 同時為進一步的動力學分析奠定了基礎。

1.基本理論

模態是機械結構的固有振動特性, 指結構在各頻率下的動態響應, 一個系統的動態響應是其若干階模態振型的綜合。對于一般的多自由度系統來說,運動都可以由其振動的模態來合成,有限元的模態分析就是建立模型模態進行數值分析的過程,其運動微分方程是

(1)

其中

{M}--質量矩陣;

[C]--阻尼矩陣;

[K]--剛度矩陣;

X(t)--系統各點的位移響應向量;

F(t)--系統各點的激勵力向量;

對于無阻尼無振動的自由系統來說,阻尼項和外力項都是零,于是上述微分方程可以化為

(2)

由于彈性體的自由振動可以分為一系列的簡諧運動的疊加,為了確定彈性體的自由振動固有頻率和振型,考慮簡諧運動的解為

(3)

把(3)帶入(2)

(4)

這是一個關于{x(t)} 的n 元線性齊次代數方程組, 該方程組有非零解的充要條件是它的系數行列式等于0,即

(5)

該行列式稱為特征行列式。將它展開可得到關于w的n次代數式此式稱為系統頻率方程

(6)

假定系統的剛度矩陣和質量矩陣都是正定的實對稱矩陣,在數學上可以證明,在這一條件下,頻率方程(6)的n個根均為正實根,他們對應系統的n個固有頻率,即這里假定各根互不相等,即沒有重根,因此可以由小到大排列為w12 <w22 <w32 <...wn2 ,將求得的wi(i=1,2,3....n)帶入(3)得相應的解{x(t)},這就是系統的模態向量或振型向量。

由于直接在abaqus中建立齒輪的模型比較麻煩,故先在solidworks中建立齒輪的三維模型,然后再導入abaqus中。

圖1 齒輪模型

2.2.齒輪邊界約束

對齒輪進行模態分析的目的主要是獲得齒輪不同階下的固有頻率和振型,因而不需要對齒輪進行加載,只需約束其邊界條件,根據齒輪的工作條件,對齒輪的內圓柱面和鍵槽面的x、y、z方向的平動位移進行約束。

2.3.齒輪網格劃分

對齒輪進行網格劃分,最大整體尺寸為3,幾何次數選擇線性攝動,選取單元類型為四面體單元C3D4。

不同材料的彈性模量和泊松比及密度不同,進而會影響到齒輪的固有頻率和振型,本文中選擇灰口鑄鐵、球墨鑄鐵、鑄鋼、碳鋼和合金鋼。通過模態分析查看不同材料對于齒輪固有頻率的影響,因為低階頻率對于結構的振動影響較大,所以僅取了模態的前6階模態分析結果,圖2是齒輪的振型圖以及最大位移振動變化,由于不同材料的振型圖較多,故只選取碳鋼的齒輪的1、3、5階振型圖作為示意。

一階振型圖

三階振型圖

五階振型圖

圖2 碳鋼齒輪的1、3、5階振型圖

由振型圖可以很直觀的看出齒輪的振動形態,觀察到齒根處和輪齒為齒輪的薄弱環節,在低階情況下,通過分析不同材料齒輪的振型圖,可以發現齒輪的振型主要為扭轉和彎曲振動,齒輪的階數越高,振動的位移越大,齒輪振動越劇烈,噪音越大。表1是不同材料的齒輪在不同階下的固有頻率,并將數據繪制成曲線圖,如圖3所示。

表1 不同材料齒輪的固有頻率(單位:KHZ)

圖3 不同材料與固有頻率之間的關系

曲線圖3表明:對同一種材料,振動階數越大,其固有頻率越大在階數相同的情況下,材料的彈性模量越大,其固有頻率越大;并且在2-3階之間,頻率增大非常明顯。

3.2.腹板厚度不同

下面來研究腹板厚度對于齒輪固有頻率的影響:齒輪的材料為碳鋼,通過改變齒輪腹板的厚度來改變齒輪結構,通過腹板厚度的不同來分析齒輪固有頻率的變化規律。該模態分析中腹板厚度取值為D=4,8,12,16,20,由于振型圖較多,下圖4是選取齒輪腹板厚度D=4時的1、3、5階振型圖作為示意。

一階振型圖

三階振型圖

五階振型圖

圖4 腹板厚度D=4的齒輪1、3、5階振型圖

通過改變腹板厚度來改變齒輪的結構,來查看不同的齒輪結構對于齒輪的固有頻率的影響,在齒輪鑄造時候,可以作為腹板厚度的參考依據,選擇合理的厚度,可以一步減輕齒輪的振動,減少齒輪振動時候的噪音,為齒輪結構的優化提供理論依據。

表2 不同腹板厚度齒輪的固有頻率(單位:KHZ)

Tab.2 Natural frequency of different web thickness gear

圖5 不同腹板厚度與固有頻率之間的關系

從曲線圖5表明:在階數相同的情況下,齒輪腹板的厚度越大,則齒輪的固有頻率越大。隨著階數的增加,齒輪的固有頻率會呈現遞增的趨勢;在腹板相同的情況下,階數越高,則齒輪的固有頻率越大。

4.從上述曲線和圖形表明:

(1)齒輪的固有頻率與齒輪的材料有關,在相同階數的情況下,齒輪材料的彈性模量越大,則齒輪的固有頻率越大;

(2)齒輪的固有頻率和齒輪的結構有關,在相同階數的情況下,齒輪的固有頻率隨腹板厚度的增大而增大;

(3)齒輪的低階振型主要為扭轉振動和彎曲振動,階數越高,振動位移越大,從振型圖可以看出齒輪的薄弱環節在齒根處和輪齒接觸面上,從而可以對齒輪進行針對性優化。

轉自:上海大學 機電工程與自動化學院

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