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2017-12-18 by:CAE仿真在線 來源:互聯網
1、非線性靜力問題分類
非線性靜力問題主要分為兩類,即材料非線性和幾何非線性。
材料非線性
材料非線性是由結構材料的非線性性能(如非線性彈性、彈塑性或粘彈性)引起的非線性力學行為,它反映在非線性的應力-應變關系(物理方程)中,在此情況下,材料的線性應力-應變關系不再適用。幾種常見的應力-應變模型:
2、幾何非線性
幾何非線性是指在外力作用下,結構的位移比較大時引起的非線性力學行為。
產生的位移不再遠小于結構自身的幾何尺度,產生的應變不再遠小于1,即應變應該包括位移的二次項。
較大的變形會導致結構的幾何形狀發生顯著的改變,以至平衡方程必須按照變形后的位置來建立。
這種非線性反映在非線性的應變-位移關系(幾何方程)中。
幾何非線性彈性問題可以分為以下幾類:
大應變、小位移
小應變、大位移
小應變、小位移,但位移的平方和應變大小同量級
3、非線性靜力問題的求解
(1)非線性問題的總體方程
在線性情況下,總體剛度矩陣與應力或應變無關,即總體剛度矩陣是常數矩陣:
對于非線性問題(物理非線性和幾何非線性),總體剛度矩陣與應力或應變相關,因為位移有限元法中,應力和應變都是可由位移表示的,所以總體剛度矩陣不再是常數矩陣,而是與位移相關,即:
可以看出,非線性的求解主要歸屬非線性方程組的求解。
在有些情況下,荷載項也可能與位移相關,這里主要介紹總體剛度矩陣與位移相關的情況。
(2)非線性方程組的求解方法
非線性方程組的求解方法有很多,常見的有:直接迭代法、牛頓法、擬牛頓法(修正牛頓法)、荷載增量法、弧長法等。
直接迭代法(也稱割線剛度法)形式簡單
牛頓法(也稱切線剛度法)具有收斂速度快的優點。
修正牛頓法則提高了計算效率。
幾種非線性有限元方程組的常用解法見下頁圖。
4、非線性靜力問題的求解策略
在求解非線性問題時,需要確定荷載步長、收斂準則、收斂精度等。求解策略指如何選擇、調整這些參數。
(1)荷載步和子步
下圖為ANSYS程序中的荷載步和子步示意圖
圖中表示將載荷分成兩個載荷步,即進行兩次加載,同時又分別
為這兩個載荷步定義了一個和兩個子步。
* 子步還可以由程序根據計算情況自動判斷的自動步長加載方法。
* 一般說,載荷步分得越多,即每次增加的載荷越少越容易收斂,
但是載荷步增加就會增加求解時間
* 載荷需要逐步增加,需要確定每步增加多少。
* 第一個載荷步的選定需要估算,一般可以做一次線性分析來確定
第一個載荷步。
(2)平衡迭代控制
對于線性分析,直接求解總體平衡方程就可以得到節點位移,對于非線性分析,則需要通過平衡迭代才能得到節點位移。
在哪個載荷步進行迭代、迭代多少次都是可以控制的。比如:第一荷載步不進行平衡迭代,第二荷載步進行平衡迭代,限定次數為2次。
(3)收斂精度
收斂精度一般定義為
第i次迭代的增量的模? 第i-1次迭代的增量的模??
為小于1的實數。“增量”可以是力、位移、能量等。
收斂精度直接關系到求解精度,但無嚴格的控制標準,可以選用程序給出的推薦收斂精度。
如能順利算出結果,為使精度再提高一些,則可再提高收斂精度;
如不能算出結果,可適當降低收斂精度
(4)收斂準則(收斂判斷標準)
幾種收斂準則:位移收斂準則、力收斂準則、能量收斂準則等。
收斂準則的選取:位移、力相比較,哪一種量變化大,作為收斂的判斷標準比較容易收斂。
在不易判斷哪一種量變化大時,建議用能量收斂準則。
(5)迭代結束
迭代結束指程序不再繼續迭代,結束迭代一般會有三種情況:
(a) 達到收斂而結束:已經滿足收斂精度。
(b) 未達到收斂而結束:尚未收斂,但達到了允許的迭代次數。
如果增大允許的最大迭代次數,可能會收斂。
(c) 因發散而結束:尚未收斂,也未達到規定的迭代次數。
(6)調整求解策略
調整求解策略系指改變荷載步長、收斂精度、允許的最大迭代次數、應力-應變曲線等。
非線性求解時會遇到不同的情況,比如,不收斂、提高計算精度等,這時可以調整求解策略。
5、例7-1 兩柱接觸
文件:W7-1.txt(VM191), Hertz 接觸,如圖
模型:* 施加一半力。
* 采用位移約束方程,使11-14
連線上的節點位移相同。
目的: 在有限元模型不變,即網格、材料參數等不變情況下,觀察收斂精度與允許的最大迭代步數之間的關系。
(1)求解正常結束
設置:NEQIT, 30 ! 允許的迭代次數=30
CNVTOL, F, , 0.00000001, , , !力的誤差控制
求解結果:FEM最大位移:0.4183 ,FEM最大接觸壓力:379.325
解析解最大位移:0.4181
(2)不收斂結束設置:NEQIT, 3! 允許的迭代次數=3
CNVTOL, F, , 0.001, , , !力的誤差控制
(2)求解停止
設置:
NEQIT, 3 ! 允許的迭代次數=3
CNVTOL, F, , 0.001, , , !力的誤差控制=0.001=0.1%
求解結果:因為未收斂而停機。實際上是因為允許的最大迭代次數已經達到而停機 。
6、傳熱形式
7、傳熱學有限元法
(1)溫度場變分
根據溫度場的控制方程和定解條件,建立如下泛函
取泛函的極值(取泛函的一階變分等于零),即
等價于控制方程和定解條件(除溫度邊界條件)。
(2)溫度場有限元方程由一階變分等于零,得:
將求解域劃分為單元后,用單元溫度函數之和代替全域的解,邊界條件也由相應的單元面/邊來表示,則可得溫度場總體有限元方程:
4種矩陣:傳導、熱熔、對流、輻射。
4種邊界:給定溫度、給定熱流、對流、輻射。
8、實例:
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